Question

7．設(shè)f（x）=sinxcosx-cos²（x+$\frac{π}{4}$）．
（1）求f（x）的單增區(qū)間和$f（\frac{π}{8}）$的值；
（2）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若f（$\frac{A}{2}$）=0，a=1，求△ABC面積的最大值．（參考公式：m²+n²≥2mn）

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，可得$f（\frac{π}{8}）$的值；再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單增區(qū)間．
（2）利用余弦定理、基本不等式，求得△ABC面積的最大值．

解答 解：（1）f（x）=sinxcosx-cos²（x+$\frac{π}{4}$）
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1+cos（2x+\frac{π}{2}）}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$=sin2x-$\frac{1}{2}$，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{π}{4}$，
可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．
f（$\frac{π}{8}$）=sin$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．
（2）在銳角△ABC中，若f（$\frac{A}{2}$）=sinA-$\frac{1}{2}$=0，
則sinA=$\frac{1}{2}$，A=$\frac{π}{6}$，
∵a=1，由余弦定理可得a²=1=b²+c²-2bc•cosA=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，
即bc≤1，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，取等號(hào)．
故△ABC面積為$\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{1}{4}$bc≤$\frac{1}{4}$，
即△ABC面積的最大值為$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性、余弦定理、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．