Question

20．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，已知$\frac{a-c}{a-b}$=$\frac{sin（A+C）}{sinA+sinC}$．
（Ⅰ）求角C的大��； 
（Ⅱ）若|$\overrightarrow{CA}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$|=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （I）$\frac{a-c}{a-b}$=$\frac{sin（A+C）}{sinA+sinC}$，由正弦定理可得：$\frac{a-c}{a-b}$=$\frac{sin（A+C）}{sinA+sinC}$=$\frac{sinB}{sinA+sinC}$=$\frac{a+c}$，化簡(jiǎn)利用余弦定理即可得出．（Ⅱ）取 BC中點(diǎn)D，則$|{\overrightarrow{C{A}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{C{B}}}|=2=|{\overrightarrow{D{A}}}|$，在△ADC中，AD²=AC²+CD²-2 AC•CDcosC，化簡(jiǎn)利用基本不等式的性質(zhì)與三角形面積計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（I）∵$\frac{a-c}{a-b}$=$\frac{sin（A+C）}{sinA+sinC}$，由正弦定理可得：$\frac{a-c}{a-b}$=$\frac{sin（A+C）}{sinA+sinC}$=$\frac{sinB}{sinA+sinC}$=$\frac{a+c}$，化為：a²-c²=ab-b²，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，C∈（0，π）．
∴$C=\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）取 BC中點(diǎn)D，則$|{\overrightarrow{C{A}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{C{B}}}|=2=|{\overrightarrow{D{A}}}|$，
在△ADC中，AD²=AC²+CD²-2 AC•CDcosC，
即$4={b^2}+{（{\frac{a}{2}}）^2}-\frac{ab}{2}$$≥2\sqrt{\frac{{{a^2}{b^2}}}{4}}-\frac{ab}{2}=\frac{ab}{2}$，
∴ab≤8，當(dāng)且僅當(dāng)a=4，b=2時(shí)取等號(hào)．
此時(shí)${S_{△{A}{B}C}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ab$，其最大值為$2\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形面積計(jì)算公式、正弦定理余弦定理、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．