Question

10．設(shè)α，β是一個鈍角三角形的兩個銳角，下列四個不等式中的正確的個數(shù)是（　　）
（1）cosα＞sinβ
（2）$sinα+sinβ＜\sqrt{2}$
（3）cosα+cosβ＞1
（4）$\frac{1}{2}tan（{α+β}）＜tan\frac{α+β}{2}$．

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 （1）利用誘導(dǎo)公式化簡可得．
（2）中sinα+sinβ＜sinα+sin（90°-α）=sinα+cosα．
（3）cosα+cosβ＞cosα+cos（90°-α）通過兩角和公式分析正確．
（4）舉α=30°，β=30°分析知結(jié)論不成立．

解答 解：對于（1），∵α+β＜90°，∴0⁰＜β＜90°-α＜90°⇒sinβ＜sin（90°-α）=cosα，正確；
對于（2），∵α+β＜90°，∴0⁰＜β＜90°-α＜90°⇒sinβ＜sin（90°-α）
∴sinα+sinβ＜sinα+sin（90°-α）=sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（α+45°）≤$\sqrt{2}$，
即  sinα+sinβ＜$\sqrt{2}$成立；正確；
對于（3），cosα+cosβ＞cosα+cos（90°-α）=cosα+sinα=$\sqrt{2}$sin（α+45°）
而0⁰＜α＜90°⇒45°＜α+45°＜135°⇒sin（α+45°）＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$⇒cosα+cosβ＞$\sqrt{2}$sin（α+45°）＞1，故正確；
對于（4），舉個例子，假如α=30°，β=30°，則$\frac{1}{2}$×tan（α+β）=$\frac{1}{2}$×tan60°=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
而tan$\frac{α+β}{2}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$比$\frac{\sqrt{3}}{2}$小，故等式不成立．即不成立．
故選：C．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換應(yīng)用，要熟練掌握如角的變換法、化弦法、降冪法等常用的方法．解決本題的關(guān)鍵在于利用好α、β為一個鈍角三角形的兩個銳角這一條件．