Question

1．已知函數(shù)f_n（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}（{n+1}）{x^2}+x（{n∈N*}）$，數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f'_n（a_n），a₁=3．
（1）是否存在n，使得f_n（x）在x=1處取得極值，若存在，求n的值，若不存在，說明理由；
（2）求a₂，a₃，a₄的值，請猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)${f_n}^′（1）=0$，求出n的值，判斷結(jié)論即可；
（2）猜想a_n=n+2，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（1）${f}_{n}^{′}$（x）=x²-（n+1）x+1，（n∈N^*），
若f_n（x）在x=1處取得極值，則${f_n}^′（1）=0$，得n=1，
此時${f_n}^′（x）={（x-1）^2}≥0$，所以f_n（x）在R上單調(diào)遞增，不存在極值．
所以不存在n，使得f_n（x）在x=1處取得極值．
（2）由${f}_{n}^{′}$（x）=x²-（n+1）x+1，（n∈N^*），
∴a₁=3，又a_n+1=${{a}_{n}}^{2}$-（n+1）a_n+1，
∴a₂=${{a}_{1}}^{2}$-2a₁+1=4，
∴a₃=${{a}_{2}}^{2}$-3a₂+1=5，
∴a₄=${{a}_{3}}^{2}$-4a₃+1=6，
猜想a_n=n+2，
用數(shù)學(xué)歸納法證明，
①n=1時顯然成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時，a_k=k+2猜想成立，
則n=k（k∈N^*）時，a_k=k+2，
則當(dāng)n=k+1（k∈N^*）時，
a_k+1=${{a}_{k}}^{2}$-（k+1）a_k+1=（k+2）²-（k+1）（k+2）+1=k+3=（k+1）+2，
∴n=k+1時，猜想成立，
由①②可知對一切n∈N^*，a_n=n+2成立．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，極值問題，考查歸納猜想，考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，是一道中檔題．