Question

9．在平面四邊形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，且EA=1，ED=$\sqrt{3}$．若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-1，則$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{DC}$的值是-1．

Answer 1

分析 以E為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)條件列方程，得出B點(diǎn)坐標(biāo)，代入向量的數(shù)量積公式化簡即可．

解答 解：以E為原點(diǎn)，以BC為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，
∵EA=1，ED=$\sqrt{3}$，
∴A在以E為圓心，以1為半徑的圓上，D在以E為圓心，以$\sqrt{3}$為半徑的圓上，
設(shè)A（cosθ，sinθ），B（-a，0），C（a，0），D（$\sqrt{3}$cosα，$\sqrt{3}$sinα），
則$\overrightarrow{AB}$=（-a-cosθ，-sinθ），
$\overrightarrow{AC}$=（a-cosθ，-sinθ），
$\overrightarrow{BD}$=（$\sqrt{3}$cosα+a，$\sqrt{3}$sinα），
$\overrightarrow{DC}$=（a-$\sqrt{3}$cosα，-$\sqrt{3}$sinα），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=cos²θ-a²+sin²θ=1-a²=-1，∴a²=2，
∴$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{DC}$=a²-3cos²α-3sin²α=2-3=-1．
故答案：-1

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，建立坐標(biāo)系，將向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算是關(guān)鍵，屬于中檔題．