Question

14．已知函數(shù)f（x）=（2x-x²）e^x，給以下四個(gè)結(jié)論：①f（x）＞0的解集為{x|0＜x＜2}；②$f（{-\sqrt{2}}）$是極小值，$f（{\sqrt{2}}）$是極大值；③f（x）有極小值，但無最小值；④f（x）有極小值，也有最小值．其中正確的是（　�。�

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ①②④
• D． ②④

Answer 1

分析 令f（x）＞0可解x的范圍；對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后令f'（x）=0求出x，在根據(jù)f'（x）的正負(fù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可確定②正確．根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷極大值即是原函數(shù)的最大值，無最小值，③正確，④不正確．從而得到答案．

解答 解：由f（x）＞0可得（2x-x²）e^x＞0
∵e^x＞0，∴2x-x²＞0，∴0＜x＜2，故①正確；
f′（x）=e^x（2-x²），由f′（x）=0得x=±$\sqrt{2}$，
由f′（x）＜0得x＞$\sqrt{2}$或x＜-$\sqrt{2}$，由f′（x）＞0得-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$，
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-$\sqrt{2}$），（$\sqrt{2}$，+∞）；單調(diào)增區(qū)間為（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．
∴f（x）的極大值為f（$\sqrt{2}$），極小值為f（-$\sqrt{2}$），故②正確．
∵x＜-$\sqrt{2}$時(shí)，f（x）＜0恒成立．
∴f（x）無最小值，但有極大值．
∴③正確，④錯(cuò)誤．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，主要考查函數(shù)的極值與其導(dǎo)函數(shù)關(guān)系，即函數(shù)取到極值時(shí)導(dǎo)函數(shù)一定等于0，但導(dǎo)函數(shù)等于0時(shí)還要判斷原函數(shù)的單調(diào)性才能確定原函數(shù)的極值點(diǎn)．