Question

20．長(zhǎng)方體的三個(gè)面的面積分別是$\sqrt{2}、\sqrt{3}、\sqrt{6}$，則長(zhǎng)方體的體積是$\sqrt{6}$，對(duì)角線長(zhǎng)是$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，由長(zhǎng)方體的三個(gè)面的面積分別是$\sqrt{2}、\sqrt{3}、\sqrt{6}$，列出方程組求出a，b，c，由此能求出長(zhǎng)方體的體積和對(duì)角線長(zhǎng)．

解答 解：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，
∵長(zhǎng)方體的三個(gè)面的面積分別是$\sqrt{2}、\sqrt{3}、\sqrt{6}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{ab=\sqrt{6}}\\{ac=\sqrt{3}}\\{bc=\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$．c=1．
∴長(zhǎng)方體的體積V=abc=$\sqrt{3}×\sqrt{2}×1$=$\sqrt{6}$，
對(duì)角線長(zhǎng)為：$\sqrt{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{3+2+1}$=$\sqrt{6}$．
故答案為：$\sqrt{6}$；  $\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查長(zhǎng)方體的體積、對(duì)角線長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征的合理運(yùn)用．