Question

14．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）滿足條件f（-x+1）=f（x+1），f（2）=0，且方程f（x）=x有兩相等實根．
（1）求a，b，c
（2）是否存在實數(shù)m，n（m＜n），使得函數(shù)f（x）在定義域為[m，n]時，值域為[3m，3n]．如果存在，求出m，n的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得出f（x）的對稱軸為x=1，f（2）=0，f（0）=0，設f（x）=ax（x-2）=ax²-2ax，利用f（x）=x有等根．求解即可；
（2）求得f（x）的最大值，假設存在實數(shù)m，n（m＜n），使得函數(shù)f（x）在定義域為[m，n]時，值域為[3m，3n]．即有3m＜3n≤$\frac{1}{2}$，根據(jù)f（x）在[m，n]上為增函數(shù)，得出f（m）=3m，f（n）=3n，求解即可．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
由f（-x+1）=f（x+1），
可得其圖象關(guān)于直線x=1對稱，又f（2）=0，
∴f（0）=0，即c=0，
∴f（x）=ax（x-2）=ax²-2ax，
∵方程f（x）=x有等根．
∴ax²=（2a+1）x，
可得2a+1=0，即a=-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x，
故a=-$\frac{1}{2}$，b=1，c=0；
（2）f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$．
假設存在實數(shù)m，n（m＜n），使得函數(shù)f（x）在定義域為[m，n]時，值域為[3m，3n]．
即有3m＜3n≤$\frac{1}{2}$，
∵m＜n≤$\frac{1}{6}$，[m，n]在對稱軸x=1的左邊，
∴f（x）在[m，n]上為增函數(shù)，
∵f（m）=3m，f（n）=3n，即-$\frac{1}{2}$m²+m=3m，-$\frac{1}{2}$n²+n=3n，
∴m=-4，n=0（或m=0，n=-4，不合題意，舍去）
∴存在m=-4，n=0．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，運用性質(zhì)求解解析式，單調(diào)性運用求解值域問題，屬于中檔題．