Question

2．已知xy＞0，若x²+4y²＞（m²+3m）xy恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-4]∪[-1，+∞）
• B． （-∞，-1]∪[4，+∞）
• C． （-4，1）
• D． （-1，4）

Answer 1

分析 xy＞0，x²+4y²＞（m²+3m）xy，轉(zhuǎn)化表達式，利用基本不等式的性質(zhì)求出表達式的最小值，然后求解不等式即可得出．

解答 解：∵xy＞0，x²+4y²＞（m²+3m）xy，∴m²+3m＜$\frac{{x}^{2}+4{y}^{2}}{xy}$，
∵$\frac{{x}^{2}+4{y}^{2}}{xy}$≥$\frac{4xy}{xy}$=4，當且僅當x=2y＞0時取等號．
∴m²+3m＜4，解得-4＜m＜1．
∴實數(shù)m的取值范圍是-4＜m＜1．
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)恒成立，基本不等式的性質(zhì)、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．