Question

13．如圖，點(diǎn)P等可能分布在菱形ABCD內(nèi)，則$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}≤\frac{1}{4}{\overrightarrow{AC}^2}$的概率是（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． $\frac{1}{8}$

Answer 1

分析 求得$\overrightarrow{AP}$在$\overrightarrow{AC}$方向上的投影長(zhǎng)度小于$\frac{1}{4}$AC，利用面積為測(cè)度，即可求出概率．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{AC}$的夾角為θ，
∵$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}≤\frac{1}{4}{\overrightarrow{AC}^2}$，
∴4|$\overrightarrow{AP}$|cosθ≤|$\overrightarrow{AC}$|，
∴$\overrightarrow{AP}$在$\overrightarrow{AC}$方向上的投影長(zhǎng)度小于$\frac{1}{4}$AC，∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴$\overrightarrow{AP}$在$\overrightarrow{AC}$方向上的投影長(zhǎng)度等于$\frac{1}{4}$AC時(shí)，三角形的面積為菱形ABCD的$\frac{1}{8}$，
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}≤\frac{1}{4}{\overrightarrow{AC}^2}$的概率是$\frac{1}{8}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何概型計(jì)算公式及其應(yīng)用等知識(shí)，確定$\overrightarrow{AP}$在$\overrightarrow{AC}$方向上的投影長(zhǎng)度小于$\frac{1}{4}$AC是關(guān)鍵．