Question

1．已知函數(shù)f（x）=sinx-λcosx的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是（$\frac{π}{3}$，0），則函數(shù)g（x）=λsinxcosx+sin²x圖象的一條對(duì)稱軸是（　�。�

• A． x=-$\frac{π}{3}$
• B． x=$\frac{2π}{3}$
• C． x=$\frac{π}{6}$
• D． x=$\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 依題意，由f（$\frac{π}{3}$）=sin$\frac{π}{3}$-λcos$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$λ=0可求得λ=$\sqrt{3}$；于是可得g（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性得2x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），對(duì)k賦值1即可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=sinx-λcosx的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是（$\frac{π}{3}$，0），
∴f（$\frac{π}{3}$）=sin$\frac{π}{3}$-λcos$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$λ=0，
解得：λ=$\sqrt{3}$；
∴g（x）=λsinxcosx+sin²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
由2x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$（k∈Z），
當(dāng)k=1時(shí)，x=$\frac{5π}{6}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換及其應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)，屬于中檔題．