Question

6．已知函數(shù)$f（x）=2sin（ωx+ϕ）+1，（ω＞0，|ϕ|≤\frac{π}{2}）$，其圖象與直線(xiàn)y=-1相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為π，若f（x）＞1對(duì)任意$x∈（-\frac{π}{12}，\frac{π}{3}）$恒成立，則ϕ的取值范圍是（ $\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）．

Answer 1

分析 由題意可得當(dāng)x∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）時(shí)，sin（2x+ϕ）＞0，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得ϕ的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）=2sin（ωx+ϕ）+1，（ω＞0，|ϕ|≤\frac{π}{2}）$，令f（x）=-1，可得sin（ωx+ϕ）=-1，
由于f（x）的圖象與直線(xiàn)y=-1相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為π，∴T=$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，f（x）=2sin（2x+ϕ）+1．
若f（x）＞1對(duì)任意$x∈（-\frac{π}{12}，\frac{π}{3}）$恒成立，則當(dāng)x∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）時(shí)，sin（2x+ϕ）＞0，
∴2•（-$\frac{π}{12}$）+ϕ＞2kπ，且2•$\frac{π}{3}$+ϕ＜2kπ+π，k∈Z，即2kπ+$\frac{π}{3}$＞ϕ＞2kπ+$\frac{π}{6}$，∴ϕ∈（ $\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）．
故答案為：（ $\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．