Question

15．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a+b=3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，A，B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)MN的斜率為m，BP的斜率為n，證明：2m-n為定值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率求得a=2b，由a+b=3，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）設(shè)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后解出P點(diǎn)坐標(biāo)，兩直線方程聯(lián)立解出M點(diǎn)坐標(biāo)，由D，P，N三點(diǎn)共線解出N點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)求斜率得到MN的斜率m，代入2m-n化簡(jiǎn)整理即可得到2m-n為定值．

解答 解：（1）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則a=2b，①
a+b=3，②，
解得：a=2，b=1，
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）證明：因?yàn)锽（2，0），P不為橢圓頂點(diǎn)，則可設(shè)直線BP的方程為y=n（x-2）（n≠0，n≠±$\frac{1}{2}$）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=n（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（4n²+1）x²-16n²x+16n²-4=0．
則x_P+2=$\frac{16{n}^{2}}{4{n}^{2}+1}$，x_P=$\frac{8{n}^{2}-2}{4{n}^{2}+1}$．
則y_P=n（x_P-2）=$\frac{-4n}{4{n}^{2}+1}$．
所以P（$\frac{8{n}^{2}-2}{4{n}^{2}+1}$，$\frac{-4n}{4{n}^{2}+1}$）．
又直線AD的方程為y=$\frac{1}{2}$x+1．
聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{y=n（x-2）}\end{array}\right.$，解得M（$\frac{4n+2}{2n-1}$，$\frac{4n}{2n-1}$）．
由三點(diǎn)D（0，1），P（$\frac{8{n}^{2}-2}{4{n}^{2}+1}$，$\frac{-4n}{4{n}^{2}+1}$）．N（x，0）共線，
得$\frac{-\frac{4n}{4{n}^{2}+1}-1}{\frac{8{n}^{2}-2}{4{n}^{2}+1}-0}$=$\frac{0-1}{x-0}$，所以N（$\frac{4n-2}{2n+1}$，0）．
∴MN的斜率為m=$\frac{\frac{4n}{2n-1}-0}{\frac{4n+2}{2n-1}-\frac{4n-2}{2n+1}}$=$\frac{4n（2n+1）}{2（2n+1）^{2}-2（2n-1）^{2}}$=$\frac{2n+1}{4}$．
則2m-n=$\frac{2n+1}{2}$-n=$\frac{1}{2}$．
∴2m-n為定值$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了二次方程中根與系數(shù)關(guān)系，考查了由兩點(diǎn)求斜率的公式，是中檔題．