Question

9．已知函數(shù)f（x）=2x²+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），若對于任意x∈[2，4]，不等式f（x）+t≤2恒成立，則t的取值范圍為（-∞，10]．

Answer 1

分析 由一元二次不等式的解集，可得0，5為二次方程的兩個根，代入可得b，c，函數(shù)解析式可得；
對于任意x∈[2，4]，不等式f（x）+t≤2恒成立可等價轉化為最值問題，即；2x²-10x+t-2≤0恒成立，再利用函數(shù)g（x）=2x²-10x+t-2，求它的最大值可得t的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=2x²+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），
∴2x²+bx+c＜0的解集是（0，5），所以0和5是方程2x²+bx+c=0的兩個根，
由韋達定理知，-$\frac{2}$=5，$\frac{c}{2}$=0，∴b=-10，c=0，∴f（x）=2x²-10x．
f（x）+t≤2 恒成立等價于2x²-10x+t-2≤0恒成立，
∴2x²-10x+t-2的最大值小于或等于0．
設g（x）=2x²-10x+t-2≤0，
則由二次函數(shù)的圖象可知g（x）=2x²-10x+t-2在區(qū)間[2，2.5]為減函數(shù)，在區(qū)間[2.5，4]為增函數(shù)．
∴g（x）_max=g（4）=-10+t≤0，∴t≤10．
故答案為（-∞，10]．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質，將不等式恒成立轉化為求函數(shù)的最值是解決本題的關鍵． 屬于中檔題