Question

1．已知點A（4，0），拋物線C：y²=2px（0＜p＜4）的焦點為F，點P在C上，△PFA為正三角形，則p=$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的焦點，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，運用中點坐標(biāo)公式，求出P的坐標(biāo)，代入拋物線的方程，解方程可得p的值．

解答 解：拋物線C：y²=2px（0＜p＜4）的焦點為F（$\frac{p}{2}$，0），
可得|AF|=4-$\frac{p}{2}$，
由△PFA為等邊三角形，可得P（$\frac{1}{2}$（4+$\frac{p}{2}$），$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4+$\frac{p}{2}$）），
代入拋物線的方程，可得$\frac{3}{4}$（4+$\frac{p}{2}$）²=2p•$\frac{1}{2}$（4+$\frac{p}{2}$），
化為5p²+112p-192=0，
解得p=$\frac{8}{5}$或-24（舍去），
故答案為：$\frac{8}{5}$．

點評 本題考查了拋物線的方程的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)，考查運算能力，比較基礎(chǔ)．