Question

17．定義在R上的奇函數(shù)f（x）對(duì)任意x₁，x₂（x₁≠x₂）都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，若正實(shí)數(shù)a使得不等式f（a²e^a-a²）+f（ba³）＜0恒成立，則b的取值范圍是（　　）

• A． [-1，+∞）
• B． [-e，+∞）
• C． [-1，e]
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 根據(jù)題意，當(dāng)實(shí)數(shù)x₁、x₂，滿足x₁＜x₂時(shí)有f（x₁）-f（x₂）＞0，可得f（x）是定義在R上的減函數(shù)．正實(shí)數(shù)a使得不等式f（a²e^a-a²）+f（ba³）＜0恒成立?正實(shí)數(shù)a使得不等式a²e^a-a²+ba³＞0恒成立．⇒e^a-1+ba＞0，令g（a）=e^a+ba-1，（a＞0），利用導(dǎo)數(shù)求解即可．

解答 解：∵任意給定的不等實(shí)數(shù)x₁、x₂，不等式（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立，
∴任意實(shí)數(shù)x₁、x₂，滿足x₁＜x₂時(shí)有f（x₁）-f（x₂）＞0，可得f（x）是定義在R上的減函數(shù)．
又∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
則正實(shí)數(shù)a使得不等式f（a²e^a-a²）+f（ba³）＜0恒成立?正實(shí)數(shù)a使得不等式a²e^a-a²+ba³＞0恒成立．
⇒e^a-1+ba＞0，令g（a）=e^a+ba-1，（a＞0），則g′（a）=e^a+b
∵a＞0，∴e^a＞1，且g（0）=0
①當(dāng)b≥-1時(shí)，g′（a）=e^a+b＞0恒成立，∴g（a）在（0，+∞）遞增，∴g（a）＞g（0）=0，符合題意；
②當(dāng)b＜-1時(shí)，令g′（a）=e^a+b=0，a=ln（-b）＞0，
故有a∈（0，ln（-b））時(shí)，g（a）遞減，而，g（0）=0，故存在a∈（0，ln（-b）），使g（a）＜0，故不符合題意．
綜上，b的取值范圍是[-1，+∞）
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題給出抽象函數(shù)，在已知函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的情況下解關(guān)于x的不等式，著重考查了函數(shù)的基本性質(zhì)和抽象不等式的解法等知識(shí)，屬于中檔題．