Question

13．已知函數(shù)f（x）=|x²-2ax+b|（x∈R），給出下列命題：
①若a²-b≤0，則f（x）在區(qū)間[a，+∞）上是增函數(shù)；
②?a∈R，使f（x）為偶函數(shù)；
③若f（0）=f（2），則f（x）的圖象關(guān)于x=1對稱；
④若a²-b-2＞0，則函數(shù)h（x）=f（x）-2有2個零點．
其中正確命題的序號為①②．

Answer 1

分析 ①由條件可得f（x）=|（x-a）²+b-a²|=（x-a）²+b-a²在區(qū)間[a，+∞）上是增函數(shù)，即可判斷；
②當(dāng)a=0時，f（x）=|x²+b|顯然是偶函數(shù)，即可判斷；
③由f（0）=f（2），則|b|=|4-4a+b|，取a=0，b=-2，此式成立，此時函數(shù)化為f（x）=|x²-2|，其圖象不關(guān)于x=1對稱，即可判斷；
④畫出圖象可知，h（x）=|（x-a）²+b-a²|-2有4個零點，即可判斷．

解答 解：①若a²-b≤0，則f（x）=|（x-a）²+b-a²|=（x-a）²+b-a²在區(qū)間[a，+∞）上是增函數(shù)，
故①正確；
②當(dāng)a=0時，f（x）=|x²+b|顯然是偶函數(shù)，故②正確；
③取a=0，b=-2，函數(shù)f（x）=|x²-2ax+b|化為f（x）=|x²-2|，滿足f（0）=f（2），
但f（x）的圖象不關(guān)于x=1對稱，故③錯誤；
④a²-b-2＞0，即為b-a²＜-2，即a²-b＞2，
則h（x）=|（x-a）²+b-a²|-2有4個零點，故④錯誤．
∴正確命題為①②．
故答案為：①②．

點評 本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，注意運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查判斷能力和推理能力，是中檔題．