Question

14．在△ABC中，D為BC邊上一點，$\overrightarrow{BD}$=5$\overrightarrow{DC}$，設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$．
（1）試用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{BD}$；
（2）若|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，求$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$及|3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|的值．

Answer 1

分析 （1）用$\overrightarrow{BC}$表示出$\overrightarrow{BD}$，再用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{BC}$即可；
（2）根據(jù)平面向量的數(shù)量積和模長公式計算即可．

解答 解：（1）如圖所示，

△ABC中，D為BC邊上一點，$\overrightarrow{BD}$=5$\overrightarrow{DC}$，
∴$\overrightarrow{BD}$=$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{BC}$；
又$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{BD}$=$\frac{5}{6}$（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）=$\frac{5}{6}$$\overrightarrow$-$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{a}$；
（2）|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，
∴$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|×|$\overrightarrow$|×cos60°=1×2×$\frac{1}{2}$=1，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow$•$\frac{5}{6}$（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）=$\frac{5}{6}$${\overrightarrow}^{2}$-$\frac{5}{6}$$\overrightarrow$$•\overrightarrow{a}$=$\frac{5}{6}$×2²-$\frac{5}{6}$×1=$\frac{5}{2}$；
又${（3\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}^{2}$=9${\overrightarrow{a}}^{2}$-6$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=9×1-6×1+4=7，
∴|3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積與模長公式的應(yīng)用問題，也考查了向量的線性表示問題，是中檔題．