分析 (1)推導(dǎo)出${a}_{n+1}=\frac{2}{3}{a}_{n}$,從而{an}是以$\frac{2}{3}$為公比的等比數(shù)列,利用等比數(shù)列通項公式求出a1=$\frac{3}{2}$,由此能求出an.
(2)由bn=n•an=$n•(\frac{2}{3})^{n-2}$,利用錯位相減法能求出數(shù)列{bn}的前n項和.
解答 解:(1)∵在正項數(shù)列{an}中,點(an,an+1)(n∈N*)均在函數(shù)y=$\frac{2}{3}$x的圖象上,
∴${a}_{n+1}=\frac{2}{3}{a}_{n}$,∴{an}是以$\frac{2}{3}$為公比的等比數(shù)列,
∵a3a4=$\frac{8}{27}$,∴${a}_{1}•(\frac{2}{3})^{2}×{a}_{1}(\frac{2}{3})^{3}$=$\frac{8}{27}$,解得a1=$\frac{3}{2}$,
∴an=$\frac{3}{2}×(\frac{2}{3})^{n-1}$=($\frac{2}{3}$)n-2.
(2)∵bn=n•an=$n•(\frac{2}{3})^{n-2}$,
∴數(shù)列{bn}的前n項和:
Sn=$1×(\frac{2}{3})^{-1}+2×(\frac{2}{3})^{0}+3×(\frac{2}{3})+$…+n×($\frac{2}{3}$)n-2,①
$\frac{2}{3}$Sn=$1×(\frac{2}{3})^{0}+2×(\frac{2}{3})+3×(\frac{2}{3})^{2}+…+n×(\frac{2}{3})^{n-1}$,②
①-②,得:
$\frac{1}{3}{S}_{n}$=$(\frac{2}{3})^{-1}+(\frac{2}{3})^{0}+(\frac{2}{3})+(\frac{2}{3})^{2}$+…+($\frac{2}{3}$)n-2-n×($\frac{2}{3}$)n-1
=$\frac{\frac{3}{2}[1-(\frac{2}{3})^{n}]}{1-\frac{2}{3}}$-n×($\frac{2}{3}$)n-1
=$\frac{9}{2}$-(n+3)×($\frac{2}{3}$)n-1,
∴Sn=$\frac{27}{2}$-(3n+9)×($\frac{2}{3}$)n-1.
點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法,考查數(shù)列的前n項和的求法,考查等比數(shù)列、錯位相減法等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.
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A. | (0,1) | B. | (1,+∞) | C. | (-∞,1) | D. | (0,+∞) |
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A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必 |
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A. | k≤5? | B. | k≤4? | C. | k≥4? | D. | k≥5? |
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