Question

15．已知直線l過定點(diǎn)P（-2，0），圓C的方程為：x²+y²-8y+12=0，
（Ⅰ）若直線l與圓C相切，求直線l的方程；
（Ⅱ）若直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=0$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圓C的圓心C（0，4），半徑r=2，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=-2，直線l與圓相切；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為kx-y+2k=0，圓心C（0，4）到直線l的距離d=$\frac{|0-4+2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，求出k，由此能求出直線l的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線方程為y=k（x+2），即kx-y+2k=0，由直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=0$，得到圓心C（0，4）到直線l的距離d=$\frac{|0-4+2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，求出k，由此能求出直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）圓C的方程為：x²+y²-8y+12=0的圓心C（0，4），半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{64-48}$=2，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=-2，直線l與圓相切；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=k（x+2），即kx-y+2k=0，
圓心C（0，4）到直線l的距離d=$\frac{|0-4+2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=$\frac{3}{4}$，
∴直線l的方程為y=$\frac{3}{4}$（x+2），即3x-4y+6=0．
綜上：直線l的方程為x=-2或3x-4y+6=0．
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=-2，直線l與圓相切，不成立；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=k（x+2），即kx-y+2k=0，
∵直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=0$，
∴CA⊥CB，∴AB=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，
∴圓心C（0，4）到直線l的距離d=$\frac{|0-4+2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
解得k=1或k=7，
當(dāng)k=1時(shí)，直線l的方程為y=x+2，即x-y+2=0，
當(dāng)k=7時(shí)，直線l的方程為y=7（x+2），即7x-y+14=0．
∴直線l的方程為x-y+2=0或7x-y+14=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程的求法，考查圓、直線方程、點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．