Question

2．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+a|x+2|．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求不等式f（x）≥5的解集；
（Ⅱ）當(dāng)a＜-1時，若f（x）的圖象與x軸圍成的三角形面積等于6，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論x的范圍，求出各個區(qū)間上的x解集，取并集即可；
（Ⅱ）求出f（x）的解析式，畫出函數(shù)圖象，求出三角形頂點的坐標(biāo)，
表示出三角形面積，得到關(guān)于a的方程，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1時，f（x）≥5化為：|x-1|+|x+2|≥5①，
當(dāng)x≤-2時，①式化為-2x-6≥0，解得：x≤-3；
當(dāng)-2＜x＜1時，①式化為3＞5，不成立；
當(dāng)x≥1時，①式化為2x+1≥5，解得x≥2
綜上，f（x）≥5的解集是{x|x≤-3或x≥2}；
（Ⅱ）當(dāng)x≤-2時，f（x）=-（a+1）x-2a+1；
當(dāng)-2＜x＜1時，f（x）=（a-1）x+2a+1；
當(dāng)x≥1時，f（x）=（a+1）x+2a-1，
綜上，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（a+1）x-2a+1，x≤-2}\\{（a-1）x+2a+1，-2＜x＜1}\\{（a+1）x+2a-1，x≥1}\end{array}\right.$；
畫出函數(shù)f（x）的圖象如圖所示；
則f（x）與x軸圍成的△ABC三個頂點分別為：
A（-2，3），B（-$\frac{-2a+1}{a+1}$，0），C（$\frac{2a+1}{-a+1}$，0）
由題設(shè)可得：S=$\frac{1}{2}•$（$\frac{2a+1}{-a+1}$-$\frac{-2a+1}{a+1}$）•3=6，
化簡得2a²+3a-2=0，
解得a=-2或a=$\frac{1}{2}$（不合題意，舍去）；
故a的值是-2．

點評 本題考查了絕對值不等式問題，也考查分類討論思想與數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用問題，是綜合性題目．