Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為，，，過點的直線與橢圓相交于點，兩點（兩點均在軸的上方），且，

（1）若，求橢圓的方程；

（2）直線的斜率；

（3）求的大小.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線的斜率為；（3）.

【解析】

(1)由，,得,從而,故可求橢圓的方程;

(2)先設(shè)直線的方程為即,再與橢圓的方程聯(lián)立,又由題設(shè)知,從而可求直線的斜率.

（3）由（2）求得點A的坐標(biāo)，從而由三角函數(shù)可求得的大小.

(1)由，,得,從而得,又，所以，解得，

所以橢圓的方程為：；
(2)由(1)知,,所以橢圓的方程可以寫為，
由已知設(shè)，，且,直線的方程為，

即，
則它們的坐標(biāo)滿足方程組，消去整理,得，
根據(jù)題意,,且,
由題設(shè)知, ，所以，聯(lián)立三式,計算得出,

將結(jié)果代入韋達定理中計算得出滿足，所以直線的斜率為.

（3）由（2）得，，所以，所以，所以

所以.