【題目】某城市有一直角梯形綠地，其中，km，km．現(xiàn)過邊界上的點(diǎn)處鋪設(shè)一條直的灌溉水管，將綠地分成面積相等的兩部分．

（1）如圖①，若為的中點(diǎn)，在邊界上，求灌溉水管的長度；

（2）如圖②，若在邊界上，求灌溉水管的最短長度．

【答案】（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）由面積相等建立等量關(guān)系：先確定直角梯形高，求得直角梯形面積，再表示四邊形的面積：分割成一個(gè)小直角梯形及一個(gè)直角三角形,其中為中點(diǎn)，根據(jù)四邊形的面積為直角梯形面積一半，可解得，進(jìn)而求得（2）易得，進(jìn)而可得，其中，，根據(jù)的面積為直角梯形面積一半，可解得，再由余弦定理可得，利用基本不等式求最值

試題解析：（1）因?yàn)?/span>，，，

所以，……………………………………2分

取中點(diǎn)，

則四邊形的面積為，

即，

解得，…………………………………………6分

所以(km)．

故灌溉水管的長度為km．……………………8分

（2）

設(shè)，，在中，，

所以在中，，

所以，

所以的面積為，

又，所以，即．……………………12分

在中，由余弦定理，得，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”．

故灌溉水管的最短長度為km．……………………………………16分

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知圓內(nèi)有一點(diǎn)為過點(diǎn)且傾斜角為的弦．

（1）當(dāng)時(shí)，求弦的長；

（2）當(dāng)弦被平分時(shí)，圓經(jīng)過點(diǎn)且與直線相切于點(diǎn)，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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【題目】2009年推出一種新型家用轎車，購買時(shí)費(fèi)用為萬元，每年應(yīng)交付保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)及汽油費(fèi)共萬元，汽車的維修費(fèi)為：第一年無維修費(fèi)用，第二年為萬元，從第三年起，每年的維修費(fèi)均比上一年增加萬元.（1）設(shè)該輛轎車使用年的總費(fèi)用（包括購買費(fèi)用、保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)、汽油費(fèi)及維修費(fèi)）為，求的表達(dá)式；（2）這種汽車使用多少年報(bào)廢最合算（即該車使用多少年，年平均費(fèi)用最少）？

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【題目】如圖，在正三棱柱（側(cè)棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，是棱上一點(diǎn)．

（1）若分別是的中點(diǎn)，求證：平面；

（2）若是上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，求二面角的余弦值．

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【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，已知．

（1）求橢圓的離心率；

（2）設(shè)為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)的直線與該圓相切，求直線的斜率．

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【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，是6與的等差中項(xiàng).

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在正整數(shù)，使不等式恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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【題目】已知函數(shù)，，．

（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)的圖象在兩點(diǎn)，處的切線分別為，，若，，且，求實(shí)數(shù)的最小值．

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【題目】在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到兩點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)的軌跡為,直線與交于兩點(diǎn)，

（1）寫出的方程；

（2）若，求的值.

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【題目】已知曲線的方程為：（，為常數(shù)）.

（Ⅰ）判斷曲線的形狀；

（Ⅱ）設(shè)直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)、，且，求曲線的方程.

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