Question

6．我們把形如y=f（x）^φ（x）的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，冪指函數(shù)在求導(dǎo)時(shí)，可以利用對(duì)數(shù)法：在函數(shù)解析式兩邊求對(duì)數(shù)得ln y=φ（x）lnf（x），兩邊求導(dǎo)得$\frac{y′}{y}$=φ′（x）•ln f（x）+φ（x）•$\frac{f′（x）}{f（x）}$，于是y′=f（x）^φ（x）[φ′（x）•ln f（x）+φ（x）•$\frac{f′（x）}{f（x）}$]．運(yùn)用此方法可以探求得y=x${\;}^{\frac{1}{x}}$的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，e）．

Answer 1

分析 仔細(xì)分析題意，找出f（x），φ（x），然后依據(jù)題意求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，求出單調(diào)增區(qū)間即可．

解答 解：仿照題目給定的方法，f（x）=x，φ（x）=$\frac{1}{x}$，
所以f′（x）=1，φ′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
由于y′=f（x）^φ（x）[φ′（x）lnf（x）+φ（x）$\frac{f′（x）}{f（x）}$]，
所以y′=${x}^{\frac{1}{x}}$（-$\frac{1}{{x}^{2}}$lnx+$\frac{1}{x}$•$\frac{1}{x}$）=${x}^{\frac{1}{x}}$•$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∵x＞0，∴${x}^{\frac{1}{x}}$＞0，x²＞0，
∴要使y′＞0，只要 1-lnx＞0，解得：x∈（0，e）
故y=${x}^{\frac{1}{x}}$的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為：（0，e），
故答案為：（0，e）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，考查計(jì)算能力，分析問題解決問題的能力．