Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²-4x+a+3，a∈R；
（1）若函數(shù)y=f（x）在[-1，1]上存在零點，求a的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=bx+5-2b，b∈R，當a=3時，若對任意的x₁∈[1，4]，總存在x₂∈[1，4]，使得g（x₁）=f（x₂），求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減且存在零點可得f（-1）f（1）≤0，從而解出a的范圍；
（2）對b進行討論，判斷g（x）的單調(diào)性，分別求出f（x），g（x）在[1，4]上的值域，令g（x）的值域為f（x）的值域的子集列出不等式組得出b的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-4x+a+3的函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為x=2，
∴f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，
∵函數(shù)y=f（x）在[-1，1]上存在零點，
∴f（-1）f（1）≤0，即a（8+a）≤0，
解得：-8≤a≤0．
（2）a=3時，f（x）=x²-4x+6，
∴f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，在[2，4]上單調(diào)遞增，
∴f（x）在[2，4]上的最小值為f（2）=2，最大值為f（4）=6．
即f（x）在[2，4]上的值域為[2，6]．
設(shè)g（x）在[1，4]上的值域為M，
∵對任意的x₁∈[1，4]，總存在x₂∈[1，4]，使得g（x₁）=f（x₂），
∴M⊆[2，6]．
當b=0時，g（x）=5，即M={5}，符合題意，
當b＞0時，g（x）=bx+5-2b在[1，4]上是增函數(shù)，
∴M=[5-b，5+2b]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5-b≥2}\\{5+2b≤6}\\{b＞0}\end{array}\right.$，解得0＜b≤$\frac{1}{2}$．
當b＜0時，g（x）=bx+5-2b在[1，4]上是減函數(shù)，
∴M=[5+2b，5-b]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5+2b≥2}\\{5-b≤6}\\{b＜0}\end{array}\right.$，解得-1≤b＜0．
綜上，b的取值范圍是$[-1，\frac{1}{2}]$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性判斷，值域計算，零點的存在性定理，分類討論思想，屬于中檔題．