【題目】在平面直角坐標系中，動圓與圓外切，與圓內切．

（1）求動圓圓心的軌跡方程；

（2）直線過點且與動圓圓心的軌跡交于、兩點．是否存在面積的最大值，若存在，求出的面積；若不存在，說明理由.

【答案】（1）；（2）存在，面積的最大值為，理由見解析.

【解析】

（1）設動圓的半徑為，利用幾何關系轉化兩圓內切和外切的問題，可得出，可得知點的軌跡是以點、為焦點的橢圓，并設該橢圓的方程為，利用橢圓的定義求出的值，可求出的值，由此可得出動點的軌跡方程；

（2）設直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，并計算出的面積關于的表達式，換元，利用雙勾函數(shù)的單調性可得出面積的最大值.

（1）設點，動圓的半徑為，

由題意知，，，

由橢圓定義可知，動圓圓心在以、為焦點的橢圓上，

設該橢圓的方程為，且，，.

由于圓內切于圓于點，則.

因此，動圓圓心的軌跡方程為；

（2）存在面積的最大值.

因為直線過點，可設直線的方程為或（舍）．

則，整理得 ．

由．

設點、，則，.

則，

因為．

設，則，則.

設在區(qū)間上為增函數(shù)，所以．

所以，當且僅當時取等號，即．

因此，面積的最大值為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富，除了可以很方便地網(wǎng)購，網(wǎng)絡外賣也開始成為不少人日常生活中不可或缺的一部分市某調查機構針對該市市場占有率最高的兩種網(wǎng)絡外賣企業(yè)以下簡稱外賣A、外賣的服務質量進行了調查，從使用過這兩種外賣服務的市民中隨機抽取了1000人，每人分別對這兩家外賣企業(yè)評分，滿分均為100分，并將分數(shù)分成5組，得到以下頻數(shù)分布表：

分數(shù)

人數(shù)

種類

外賣A

50

150

100

400

300

外賣B

100

100

300

200

300

表中得分越高，說明市民對網(wǎng)絡外賣服務越滿意若得分不低于60分，則表明該市民對網(wǎng)絡外賣服務質量評價較高現(xiàn)將分數(shù)按“服務質量指標”劃分成以下四個檔次：

分數(shù)

服務質量指標

0

1

2

3

視頻率為概率，解決下列問題：

從該市使用過外賣A的市民中任選5人，記對外賣A服務質量評價較高的人數(shù)為X，求X的數(shù)學期望．

從參與調查的市民中隨機抽取1人，試求其評分中外賣A的“服務質量指標”與外賣B的“服務質量指標”的差的絕對值等于2的概率；

在M市工作的小王決定從外賣A、外賣B這兩種網(wǎng)絡外賣中選擇一種長期使用，如果從這兩種外賣的“服務質量指標”的期望角度看，他選擇哪種外賣更合適？試說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四面體ABCD中，平面DAC⊥底面ABC，，AD＝CD＝，O是AC的中點，E是BD的中點．

（1）證明：DO⊥底面ABC；

（2）求二面角D-AE-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知是由非負整數(shù)組成的無窮數(shù)列，對每一個正整數(shù)，該數(shù)列前項的最大值記為，第項之后各項的最小值記為，記．

（1）若數(shù)列的通項公式為，求數(shù)列的通項公式；

（2）證明：“數(shù)列單調遞增”是“”的充要條件；

（3）若對任意恒成立，證明：數(shù)列的通項公式為．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的極值；

（2）設函數(shù)，若存在，使，證明：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知是拋物線上一點，經(jīng)過點的直線與拋物線交于、兩點（不同于點），直線、分別交直線于點、.

（1）求拋物線方程及其焦點坐標；

（2）求證：以為直徑的圓恰好經(jīng)過原點.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓上一點關于原點的對稱點為，為其右焦點，若，設，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是( )

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)，并且）.

（1）判斷函數(shù)在區(qū)間內是否存在極值點，并說明理由；

（2）若當時，恒成立，求整數(shù)的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】以橢圓：的中心為圓心，為半徑的圓稱為該橢圓的“準圓”，設橢圓的左頂點為，左焦點為，上頂點為，且滿足，.

（1）求橢圓及其“準圓"的方程；

（2）若過點的直線與橢圓交于、兩點，當時，試求直線交“準圓”所得的弦長；

（3）射線與橢圓的“準圓”交于點，若過點的直線，與橢圓都只有一個公共點，且與橢圓的“準圓”分別交于，兩點，試問弦是否為”準圓”的直徑?若是，請給出證明：若不是，請說明理由.

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