Question

20．已知三棱錐S-ABC的體積為$\frac{\sqrt{2}}{6}$，底面△ABC是邊長為1的正三角形，三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，棱SC是球O的直徑，則球O的表面積為4π．

Answer 1

分析 根據題意作出圖形，欲求球O的表面積，只須求球的半徑r．利用截面圓的性質即可求出OO₁，進而求出底面ABC上的高SD，即可計算出三棱錐的體積，從而建立關于r的方程，即可求出r，從而解決問題．

解答 設球心為O，球的半徑r．過ABC三點的小圓的圓心為O₁，則OO₁⊥平面ABC，
作SD⊥平面ABC交CO₁的延長線與D．$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴OO₁=$\sqrt{{R}^{2}-\frac{1}{3}}$，
∴高SD=2OO₁，
∵△ABC是邊長為1的正三角形，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴V_{三棱錐S-ABC=}$\frac{1}{3}×2\sqrt{{R}^{2}-\frac{1}{3}}×\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{6}$，
∴R=1．則球O的表面積為4π，
故答案為：4π．

點評 本題考查棱錐的體積，考查球內接多面體，解題的關鍵是確定點S到面ABC的距離，屬于中檔題