Question

15．已知函數(shù)f（x）=|x+1|．
（1）求不等式x•f（x）＞f（x-2）的解集；
（2）若函數(shù)y=lg[f（x-3）+f（x）+a]的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知不等式x•f（x）＞f（x-2），得x|x+1|＞|x-1|，分類(lèi)討論求不等式x•f（x）＞f（x-2）的解集；
（2）若函數(shù)y=lg[f（x-3）+f（x）+a]的值域?yàn)镽，只要g（x）=|x-2|+|x+1|+a能取到所有的正數(shù)，所以只需g/（x）的最小值小于或等于0，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由已知不等式x•f（x）＞f（x-2），得x|x+1|＞|x-1|，所以顯然x＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜x≤1}\\{{x}^{2}+2x-1＞0}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{{x}^{2}＞-1}\end{array}\right.$，
解得：$\sqrt{2}$-1＜x≤1或x＞1，所以不等式x•f（x）＞f（x-2）的解集為（$\sqrt{2}$-1，+∞）． …（5分）
（2）要函數(shù)y=lg[f（x-3）+f（x）+a]的值域?yàn)镽，
只要g（x）=|x-2|+|x+1|+a能取到所有的正數(shù)，所以只需g/（x）的最小值小于或等于0，
又g（x）≥|x-2-x-1|+a=3+a，所以只需3+a≤0，即a≤-3，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的解法，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．