Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-a|+|x+a|（a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若關(guān)于x的不等式$f（x）＜\frac{5}{x}+a$在x∈[1，2]上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，求f（x）的最小值；
（2）若關(guān)于x的不等式$f（x）＜\frac{5}{x}+a$在x∈[1，2]上有解，利用函數(shù)的單調(diào)性求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，$f（x）=|{2x-1}|+|{x+1}|=|{x-\frac{1}{2}}|+|{x-\frac{1}{2}}|+|{x+1}|≥0+|{（x-\frac{1}{2}）+（x-\frac{1}{2}）}|=\frac{3}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$x=\frac{1}{2}$時(shí)，取等號(hào)．
（2）x∈[1，2]時(shí)，$f（x）＜\frac{5}{x}+a⇒|{2x-a}|+x+a＜\frac{5}{x}+a⇒|{a-2x}|＜\frac{5}{x}$$?3x-\frac{5}{x}＜a＜x+\frac{5}{x}$，
所以0＜a＜6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．