Question

14．已知雙曲線M的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，焦點在x軸上，離心率為$\sqrt{2}$，焦點到一條漸近線的距離為1，
①求M的標準方程
②直線y=kx+1交M的左支于A、B兩點，E為AB的中點，F(xiàn)為其左焦點，求直線EF在y軸上的截距m的取值范圍．

Answer 1

分析 ①設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），由離心率可得a=b，c=$\sqrt{2}$a，再由焦點到漸近線的距離可得c，進而得到a，b和雙曲線的方程；
②直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），進而根據(jù)判別大于0及x₁和x₂的范圍求得k的范圍，表示出AB中點的坐標，進而表示出直線l的方程，令x=0求得m關(guān)于k的表達式，根據(jù)k的范圍求得m的范圍．

解答 解：①設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$=$\sqrt{2}$，可得a=b，c=$\sqrt{2}$a，
由焦點（c，0）到一條漸近線y=x的距離為1，
可得$\frac{c}{\sqrt{2}}$=1，即c=$\sqrt{2}$，a=b=1．
則雙曲線的方程為x²-y²=1；
②由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1-k²）x²-2kx-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{△=4{k}^{2}+8（1-{k}^{2}）＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2k}{1-{k}^{2}}＜0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2}{{k}^{2}-1}＞0}\end{array}\right.$，解得1＜k＜$\sqrt{2}$，
∴AB中點E為（$\frac{k}{1-{k}^{2}}$，$\frac{1}{1-{k}^{2}}$），
又F（-$\sqrt{2}$，0），
∴直線EF方程為y=$\frac{1}{k+\sqrt{2}-\sqrt{2}{k}^{2}}$（x+$\sqrt{2}$），
令x=0，
得m=$\frac{\sqrt{2}}{k+\sqrt{2}-\sqrt{2}{k}^{2}}$=$\frac{1}{-{k}^{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}k+1}$
=$\frac{1}{-（k-\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}+\frac{7}{8}}$，
由1＜k＜$\sqrt{2}$，可得m＞$\sqrt{2}$．
所以m的范圍是（$\sqrt{2}$，+∞）．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，考查了直線與雙曲線的綜合問題．用k表示m的過程即是建立目標函數(shù)的過程，本題要注意k的取值范圍．