Question

11．△ABC的頂點A（0，0），B（1，2），（3，-1），則該三角形面積為$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 法1：設出BC解析式，令y=0求出x的值，確定出D坐標，得到OD的長，三角形ABC面積=三角形ABD面積+三角形ACD面積，求出即可；
法2：利用兩點間的距離公式求出三邊長，再利用余弦定理求出cos∠BAC的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出sin∠BAC的值，根據(jù)三角形面積公式即可求出．

解答 解：法1：設直線BC解析式為：y-2=$\frac{-1-2}{3-1}$（x-1），即3x+2y-7=0，
令y=0，得到x=$\frac{7}{3}$，即D（$\frac{7}{3}$，0），
∴S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD=$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{3}$×2+$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{3}$×1=$\frac{7}{2}$；
法2：∵△ABC的頂點A（0，0），B（1，2），（3，-1），
∴AB=$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{10}$，BC=$\sqrt{（1-3）^{2}+（2+1）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴cos∠BAC=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}$=$\frac{5+10-13}{10\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
∴sin∠BAC=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
則S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•ACsin∠BAC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\sqrt{10}$×$\frac{7\sqrt{2}}{10}$=$\frac{7}{2}$．
故答案為：$\frac{7}{2}$

點評 此題考查了正弦、余弦定理，以及兩點間距離公式的應用，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．