Question

18．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx），其中常數(shù)ω＞0
（1）若y=f（x）在$[{-\frac{π}{4}，\frac{2π}{3}}]$上單調(diào)遞增，求ω的取值范圍；
（2）令ω=2，將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，區(qū)間[a，b]（a，b∈R且a＜b）滿足，y=g（x）在[a，b]上恰有30個零點，求b-a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得ω•（-$\frac{π}{4}$）≥-$\frac{π}{2}$，且ω•$\frac{2π}{3}$≤$\frac{π}{2}$，由此求得ω的范圍．
（2）由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得g（x）的解析式，從而求得函數(shù)g（x）的零點，即可求b-a的取值范圍．

解答 解：（1）對于函數(shù)f（x）=2sinωx，其中常數(shù)ω＞0，若y=f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]上單調(diào)遞增，
則ω•（-$\frac{π}{4}$）≥-$\frac{π}{2}$，且ω•$\frac{2π}{3}$≤$\frac{π}{2}$，求得ω≤$\frac{3}{4}$，即ω的取值范圍為（0，$\frac{3}{4}$]．
（2）令ω=2，將函數(shù)y=f（x）=2sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位長度，可得函數(shù)y=2sin2（x+$\frac{π}{6}$）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象；
再向上平移1個單位長度，得到函數(shù)y=g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1的圖象，
令g（x）=0，求得sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{7π}{6}$，或 2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{11π}{6}$，k∈z，
求得x=kπ+$\frac{5π}{12}$ 或x=kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈z，故函數(shù)g（x）的零點為x=kπ+$\frac{5π}{12}$或x=kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈z．
∴g（x）的零點相離間隔依次為$\frac{π}{3}$和$\frac{2π}{3}$，
∵y=g（x）在[a，b]上恰有30個零點，
∴b-a的最小值為$14×\frac{2π}{3}+15×\frac{π}{3}$=$\frac{43π}{3}$，
∵b-a$＜16×\frac{2π}{3}+15×\frac{π}{3}=\frac{47π}{3}$，
∴$\frac{43}{3}π≤b-a＜\frac{47π}{3}$．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的零點，屬于中檔題．