Question

13．做一個(gè)體積為32m³，高為2m的長(zhǎng)方體紙盒．
（1）若用x表示長(zhǎng)方體底面一邊的長(zhǎng)，S表示長(zhǎng)方體的表面積，寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)x取什么值時(shí)，做一個(gè)這樣的長(zhǎng)方體紙盒用紙最少？最少用紙多少m²？

Answer 1

分析 （1）由題意知，該長(zhǎng)方體的底面積為$\frac{32}{2}$=16cm²，故它的底面另一邊長(zhǎng)為$\frac{16}{x}$m．可得S（x＞0）．
（2）法一：要使用紙最少，即是使長(zhǎng)方體的表面積最小，也就是求S的最小值．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值即可得出．
法二：利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）由題意知，該長(zhǎng)方體的底面積為$\frac{32}{2}$=16cm²，故它的底面另一邊長(zhǎng)為$\frac{16}{x}$m．
∴S=2（2x+2×$\frac{16}{x}$）+2×16=4x+$\frac{64}{x}$+32（x＞0）．
（2）法一：要使用紙最少，即是使長(zhǎng)方體的表面積最小，也就是求S的最小值．
∵S′=4-$\frac{64}{{x}^{2}}$=$\frac{4（x+4）（x-4）}{{x}^{2}}$，
令S′=0，解得：x=4（舍去），
當(dāng)0＜x＜4時(shí)，S′＜0；
當(dāng)x＞4時(shí)，S′＞0，
∴當(dāng)S在x=4處取得極小值，也是最小值，此時(shí)S_min=16+$\frac{64}{4}$+32=64（m²）．
法二：要使用紙最少，即是使長(zhǎng)方體的表面積最小，也就是求S的最小值．
∵x＞0，S=4x+$\frac{64}{x}$+32≥$2\sqrt{4x•\frac{64}{x}}$+32=64，
當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，S_min=64（m²）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．