Question

2．已知下列三角形數(shù)表假設(shè)第行的第二個(gè)數(shù)為a_n（n≥2，n∈N^*）．
（1）依次寫出第六行的所有數(shù)字；
（2）歸納出a_n+1與a_n的關(guān)系式并求出a_n的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)a_n•b_n=1，求證：b₁+b₂+b₃+…+b_n＜2．

Answer 1

分析 （1）每行的第一個(gè)數(shù)為所在的行數(shù)，從第二項(xiàng)起，每個(gè)元素為上行兩個(gè)相鄰元素的和，即可求得第六行的所有數(shù)字；
（2）由題意可知a_n+1=a_n+n（n≥2），a₂=2，則a_n-a_n-1=n-1（n≥3），累加即可求得a_n，當(dāng)n=2時(shí)，${a_2}=\frac{1}{2}×{2^2}-\frac{1}{2}×2+1\;\;=2$，也滿足上述等式，即可求得a_n的通項(xiàng)公式；
（3）由題意可知：${b_n}=\frac{2}{{{n^2}-n+2}}＜\frac{2}{{{n^2}-n}}=2（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$，采用“裂項(xiàng)法”即可求得b₁+b₂+b₃+…+b_n=2（1-$\frac{1}{n}$）$2（1-\frac{1}{n}）＜2$＜2．

解答 解：（1）第六行的所有6個(gè)數(shù)字分別是6，16，25，25，16，6；--------（2分）
（2）依題意a_n+1=a_n+n（n≥2），a₂=2---（4分）
a_n-a_n-1=n-1（n≥3），
a₃-a₂=2a_n=a₂+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+…+（a_n-a_n-1），
=$2+2+3+…+（n-1）=2+\frac{（n-2）（n+1）}{2}$，
∴${a_n}=\frac{1}{2}{n^2}-\frac{1}{2}n+1\;\;\;（n≥3）$；-------（7分）
當(dāng)n=2時(shí)，${a_2}=\frac{1}{2}×{2^2}-\frac{1}{2}×2+1\;\;=2$，
也滿足上述等式
所以${a_n}=\frac{1}{2}{n^2}-\frac{1}{2}n+1\;\;\;（n≥2）$-------（8分）
（3）證明：因?yàn)閍_nb_n=1，則${b_n}=\frac{2}{{{n^2}-n+2}}＜\frac{2}{{{n^2}-n}}=2（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$-------（11分）
${b_2}+{b_3}+{b_4}+…+{b_n}＜2[（\frac{1}{1}-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）]$=$2（1-\frac{1}{n}）＜2$，
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n＜2．--（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，“裂項(xiàng)法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．