Question

6．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=1，|3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|=$\sqrt{13}$，且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為60°．
（1）求|$\overrightarrow$|的值；
（2）求2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$和$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用模長(zhǎng)平方與向量的平分相等，將已知|3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|=$\sqrt{13}$兩邊平方展開，得到關(guān)于|$\overrightarrow$|的方程解之即可；
（2）分別求出2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$和$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$模長(zhǎng)以及數(shù)量積，利用數(shù)量積公式求夾角．

解答 解：（1）由已知|3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|²=13，展開得到9${\overrightarrow{a}}^{2}-12\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4{\overrightarrow}^{2}=13$，所以4|$\overrightarrow$|²-6|$\overrightarrow$|-4=0，解得|$\overrightarrow$|=2；
（2）由已知得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1，所以（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）²=4${\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$=4，（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=${\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4{\overrightarrow}^{2}$=13，
所以|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|=$\sqrt{13}$，且（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=2${\overrightarrow{a}}^{2}$+2${\overrightarrow}^{2}$-5$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2+8-5=5；
所以2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$和$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$夾角的余弦值為：$\frac{（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）}{|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow||\overrightarrow{a}-2\overrightarrow|}$=$\frac{5}{2×\sqrt{13}}=\frac{5\sqrt{13}}{26}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)量積公式的運(yùn)用；由數(shù)量積公式得到向量的模長(zhǎng)平方與向量的平方相等，得到關(guān)于模長(zhǎng)的方程解之．