Question

3．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=mt\\ y=\sqrt{3}t\end{array}\right.（t$為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=4，直線l過(guò)曲線C的左焦點(diǎn)F．
（1）直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|；
（2）設(shè)曲線C的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)為c，求c的最大值．

Answer 1

分析 （1）曲線C與直線聯(lián)立，利用參數(shù)的幾何意義，求|AB|；
（2）設(shè)矩形的第一象限的頂點(diǎn)為$（{2cosθ，sinθ}）（{0＜θ＜\frac{π}{2}}）$，所以$c=4（{2cosθ+sinθ}）=4\sqrt{5}sin（{θ+φ}）$，即可求c的最大值．

解答 解：（1）曲線$C：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，∴$F（{-\sqrt{3}，0}）$，曲線C與直線聯(lián)立得$13{t^2}-2\sqrt{3}t-1=0$，方程兩根為t₁，t₂，則$AB=2|{{t_1}-{t_2}}|=\frac{16}{13}$．
（2）設(shè)矩形的第一象限的頂點(diǎn)為$（{2cosθ，sinθ}）（{0＜θ＜\frac{π}{2}}）$，所以$c=4（{2cosθ+sinθ}）=4\sqrt{5}sin（{θ+φ}）$，
所以當(dāng)sin（θ+φ）=1時(shí)，c最大值為$4\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，屬于中檔題．