Question

3．已知圓O的方程為x²+y²=1，點(diǎn)P為x軸正半軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓O的切線PA，PB，求$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值．

Answer 1

分析 設(shè)P（t，0），利用圓的切線性質(zhì)得出|PA|，sin∠APO．使用二倍角公式計(jì)算cos∠APB，代入向量的定義式得出$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$關(guān)于t的函數(shù)，利用不等式得出數(shù)量積的最小值．

解答 解：∵PA，PB是圓O的切線，
∴|PA|=|PB|，∠APO=∠BPO，
設(shè)P（t，0），則t＞1．
∴|PA|=|PB|=$\sqrt{{t}^{2}-1}$，sin∠APO=$\frac{1}{t}$，
∴cos∠APB=1-2sin²∠APO=1-$\frac{2}{{t}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=|PA||PB|cos∠APB=（t²-1）（1-$\frac{2}{{t}^{2}}$）=t²-3+$\frac{2}{{t}^{2}}$≥2$\sqrt{2}$-3．（當(dāng)且僅當(dāng)t²=$\frac{2}{{t}^{2}}$，即t²=$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)）
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值為2$\sqrt{2}-3$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，圓的切線的性質(zhì)，屬于中檔題．