Question

3．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（1）證明：數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{n•（a_n+1）}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件推出$\frac{{{a_{n+1}}+1}}{{{a_n}+1}}=2（{n∈N*}）$，說明數(shù)列{a_n+1}是以2為公比的等比數(shù)列．然后求解通項公式．
（2）利用錯位相減法求和求解即可．

解答 解：（1）證明：a_n+1+1=（2a_n+1）+1=2（a_n+1）
于是$\frac{{{a_{n+1}}+1}}{{{a_n}+1}}=2（{n∈N*}）$…（4分）
即數(shù)列{a_n+1}是以2為公比的等比數(shù)列．
因為${a_n}+1=（{{a_1}+1}）•{2^{n-1}}={2^n}$，所以${a_n}={2^n}-1$…（6分）
（2）${T_n}=1•{2^1}+2•{2^2}+3•{2^3}+…+n•{2^n}$①
2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②…（8分）
①-②得$-{T_n}=1•{2^1}+1•{2^2}+1•{2^3}+…+1•{2^n}-n•{2^{n+1}}$…（10分）
=$\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n•{2^{n+1}}$
=-2-（n-1）•2ⁿ⁺¹
故${T_n}=（n-1）•{2^{n+1}}+2$…（12分）

點評 本題考查數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列的遞推關(guān)系式以及數(shù)列求和，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．