Question

12．已知函數(shù)f（x）=sinkxsin^kx+coskxcos^kx-cos^k2x，（其中k為常數(shù)，x∈R）
（1）當k=1時，求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）當k=1時，求函數(shù)$g（x）=\frac{f（x）}{{a+{f^2}（x）}}$在$（{0\;，\;\;\frac{π}{3}}]$上的最大值（其中常數(shù)a＞0）
（3）是否存在k∈N^*，使得函數(shù)f（x）為常函數(shù)，若存在，求出k的值，并加以證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）k=1時，函數(shù)f（x）=sinxsinx+cosxcosx-cos2x=1-cos2x，再根據余弦函數(shù)圖象求得
（2）由（1）得f（x）=1-cos2x，當x∈（0，$\frac{π}{3}$]時，f（x）∈（0，$\frac{3}{2}$]．令x=t，t$∈（0，\frac{3}{2}$]，$g（x）=\frac{f（x）}{{a+{f^2}（x）}}$=$\frac{t}{a+{t}^{2}}=\frac{1}{t+\frac{a}{t}}$再根據函數(shù)h（t）=t+$\frac{a}{t}$ （a＞0）的單調性求解
（3）令x=0，f（x）=0，∴若函數(shù)f（x）為常函數(shù)，必是f（x）=0令x=$\frac{π}{2}$，f（x）=sin$\frac{kπ}{2}$-（-1）^k=0，k∈Z⁺，k=4m-1  （m∈N⁺）．再驗證k

解答 解：（1）k=1時，函數(shù)f（x）=sinxsinx+cosxcosx-cos2x=1-cos2x．
由2kπ≤2x≤2kπ+π，得kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{2}$k∈Z
即函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為：[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z
（2）由（1）得f（x）=1-cos2x，當x∈（0，$\frac{π}{3}$]時，f（x）∈（0，$\frac{3}{2}$]．
令x=t，t$∈（0，\frac{3}{2}$]，$g（x）=\frac{f（x）}{{a+{f^2}（x）}}$=$\frac{t}{a+{t}^{2}}=\frac{1}{t+\frac{a}{t}}$
函數(shù)h（t）=t+$\frac{a}{t}$ （a＞0）在t∈（0，$\sqrt{a}$）遞減，在t∈（$\sqrt{a}$，+∞）遞增，
∴當0＜t$＜\frac{9}{4}$時，函數(shù)g（x）的最大值為$\frac{\sqrt{a}}{2a}$，
當t$≥\frac{9}{4}$時，函數(shù)g（x）的最大值為$\frac{6}{4a+9}$．
（3）令x=0，f（x）=0，∴若函數(shù)f（x）為常函數(shù)，必是f（x）=0
令x=$\frac{π}{2}$，f（x）=sin$\frac{kπ}{2}$-（-1）^k=0，k∈Z⁺，
k=4m-1  （m∈N⁺）．
經驗證k=3符合題意．

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡，三角函數(shù)的圖象與性質，函數(shù)的單調性、存在性問題，屬于難題．