Question

1．已知函數(shù)$f（x）=a{x^3}+\frac{1}{2}（sinθ）{x^2}-2x+c$的圖象經過點$（1，\frac{37}{6}）$，且在[-2，1]上單調遞減，在[1，+∞）上單調遞增．
（1）求函數(shù)解析式；
（2）是否存在實數(shù)m，使得對于任意的x₁，x₂∈[m，m+3]（m≥0），不等式$|f（{x_1}）-f（x_2^{\;}）|≤\frac{45}{2}$恒成立？若存在，求出m的范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，求出sinθ和a的值，求出c的值，得到函數(shù)的解析式即可；
（2）問題轉化為${y_{max}}-{y_{min}}≤\frac{45}{2}$恒成立，根據函數(shù)的單調性分別求出y的最大值和最小值，得到關于m的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f'（x）=3ax²+（sinθ）x-2
由題意可知f'（1）=0，f'（-2）≤0，
即3a+sinθ-2=0，12a-2sinθ-2≤0，
解得：sinθ≥1，∴$sinθ=1，a=\frac{1}{3}$
又$f（1）=\frac{37}{6}$，∴$c=\frac{22}{3}$，$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}-2x+\frac{22}{3}$…（5分）
（2）$|f（{x_1}）-f（x_2^{\;}）|≤\frac{45}{2}$恒成立，即${y_{max}}-{y_{min}}≤\frac{45}{2}$恒成立；
f'（x）=x²+x-2=（x+2）（x-1），
解得f（x）在（-∞，-2）、（1，+∞）遞增，在（-2，1）遞減，
①當m≥1時，f（x）在[m，m+3]上遞增，
∴y_max=f（m+3），y_min=f（m），
$f（m+3）-f（m）=3{m^2}+12m+\frac{15}{2}≤\frac{45}{2}$，
∴-5≤m≤1，與條件矛盾；
②當0≤m＜1時，f（x）在[m，1]上遞減，在[1，m+3]上遞增，
∴y_min=f（1），y_max=max{f（m），f（m+3）}，
∵$f（m+3）-f（m）=3{m^2}+12m+\frac{15}{2}=3{（m+2）^2}-\frac{9}{2}＞0$，
∴y_max=f（m+3），f（m+3）-f（1）≤f（4）-f（1）=$\frac{45}{2}$恒成立，
綜上，0≤m≤1時，原不等式成立…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及絕對值不等式問題，考查分類討論思想以及轉化思想，是一道綜合題．