Question

17．若$π＜θ＜\frac{3π}{2}$，則$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2θ}}-\sqrt{1-sinθ}$=$cos\frac{θ}{2}$．

Answer 1

分析 利用二倍角余弦公式的變形進(jìn)行轉(zhuǎn)化去根號(hào)是解決本題的關(guān)鍵，即將被開(kāi)方數(shù)進(jìn)行升冪轉(zhuǎn)化，結(jié)合角所在的象限進(jìn)行開(kāi)方化簡(jiǎn)．

解答 解：由于$π＜θ＜\frac{3π}{2}$，則$\frac{π}{2}＜\frac{θ}{2}＜\frac{3π}{4}$，
∴cosθ＜0，$sin\frac{θ}{2}＞0$，cos$\frac{θ}{2}$＜0，
則$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2θ}}-\sqrt{1-sinθ}$=$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{co{s}^{2}θ}}-\sqrt{1-2sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}}$
=$\sqrt{\frac{1-cosθ}{2}}-\sqrt{（sin\frac{θ}{2}-cos\frac{θ}{2}）^{2}}$=$sin\frac{θ}{2}$-$|sin\frac{θ}{2}-cos\frac{θ}{2}|$
=sin$\frac{θ}{2}$$-sin\frac{θ}{2}+cos\frac{θ}{2}$=cos$\frac{θ}{2}$．
故答案為：$cos\frac{θ}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二倍角余弦公式的變形公式的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，誘導(dǎo)公式帶根號(hào)問(wèn)題的處理方法，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想和方法，注意角所在象限對(duì)三角函數(shù)正負(fù)的影響，是中檔題．