Question

14．已知函數(shù)f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）若$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 利用二倍角公式化成 f（x）=cos2x-sin2x=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
（1）最小正周期T=π．
（2）令-π+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ，求單調(diào)遞增區(qū)間，
（3）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）在[0，$\frac{3π}{8}$]上單調(diào)遞減，在[$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{2}$]上遞增，即可求出函數(shù)的值域

解答 解：（1）f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x
=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）-sin2x
=1×（cos²x-sin²x）-sin2x
=cos2x-sin2x
=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）
∴T=$\frac{2π}{2}$=π
（2）∵-π+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{5}{8}$π+kπ≤x≤-$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-$\frac{5}{8}$π+kπ，-$\frac{π}{8}$+kπ]，k∈Z，
（3）由（1）可得f（x）在[0，$\frac{3π}{8}$]上單調(diào)遞減，在[$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{2}$]上遞增，
∴f（x）的最小值為-$\sqrt{2}$，
f（0）=$\sqrt{2}$cos（0+$\frac{π}{4}$）=1，f（$\frac{π}{2}$）=-1，
∴f（x）的值域為[-$\sqrt{2}$，1]．

點評 本題考查二倍角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)性質(zhì)，整體思想．屬于常規(guī)題目．