Question

10．已知函數(shù)$f（x）=cosxsin（x+\frac{π}{3}）-\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=2af（x）+b，若g（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}$]上的值域?yàn)閇2，4]，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}$]上時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的值域．根據(jù)g（x）值域?yàn)閇2，4]，即可a，b的值

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=cosxsin（x+\frac{π}{3}）-\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．
化簡(jiǎn)可得：f（x）=$cosx（\frac{1}{2}sinx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx）-\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$=$\frac{1}{2}sinxcosx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}{cos^2}x-\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$=$\frac{1}{4}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\frac{1-cos2x}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$=$\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{3}）$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，
得：$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}$
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：$[kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}]$，k∈Z．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：$f（x）=\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{3}）$，那么：g（x）=2af（x）+b=asin（2x-$\frac{π}{3}$）+b．
∵$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$，
∴$-\frac{5π}{6}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{6}$
則：-1≤sin（2x-$\frac{π}{3}$）≤$\frac{1}{2}$．
當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）的值域?yàn)閇-a+b，$\frac{1}{2}$a+b]，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{-a+b=2}\\{\frac{1}{2}a+b=4}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{4}{3}$，b=$\frac{10}{3}$
當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）的值域?yàn)閇$\frac{1}{2}$a+b，-a+b]，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{-a+b=4}\\{\frac{1}{2}a+b=2}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{4}{3}$，b=$\frac{8}{3}$．
故得當(dāng)a＞0時(shí)，a=$\frac{4}{3}$，b=$\frac{10}{3}$
當(dāng)a＜0時(shí)，a=-$\frac{4}{3}$，b=$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．