Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{xln（1+x）+{x}^{2}，x≥0}\\{-xln（1-x）+{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，若f（-a）+f（a）≤2f（1），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-1]∪[1，+∞）
• B． [-1，0]
• C． [0，1]
• D． [-1，1]

Answer 1

分析 判斷f（x）為偶函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）在[0，+∞）的單調(diào)性，則f（-a）+f（a）≤2f（1）轉(zhuǎn)化為|a|≤1，解不等式即可得到a的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{xln（1+x）+{x}^{2}，x≥0}\\{-xln（1-x）+{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
將x換為-x，函數(shù)值不變，即有f（x）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
即f（x）為偶函數(shù)，有f（-x）=f（x），
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=xln（1+x）+x²的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=ln（1+x）+$\frac{x}{1+x}$+2x≥0，
則f（x）在[0，+∞）遞增，
f（-a）+f（a）≤2f（1），即為2f（a）≤2f（1），
可得f（|a|））≤f（1），可得|a|≤1，
解得-1≤a≤1．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用：解不等式，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．