Question

【題目】已知函數(shù)

(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)若，當(dāng)=1時(shí)，求證：

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng) 時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；當(dāng) 時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)， 函數(shù)沒有零點(diǎn).

(2)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）對(duì)進(jìn)行化簡，構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性和最值，即可確定F（x）=f（x）﹣xlnx在定義域內(nèi)是否存在零點(diǎn)；（2）由（Ⅰ）知，當(dāng)a=1時(shí)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，要證明f（g（x））＜f（x），只要證明g（x）＜x即可．

詳解：

（1）函數(shù) 的定義域?yàn)?/span>

由 得

令 則

由于 ，可知當(dāng) 當(dāng) 時(shí)

故函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故，又

當(dāng) 時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；

當(dāng) 時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)， 函數(shù)沒有零點(diǎn).

（2）函數(shù)定義域?yàn)?/span> 時(shí)，

由 得：

時(shí)，在上單調(diào)遞增，且故對(duì)任意

所以，要證明，只需證：

只需證：

即證：

即證；

所以，要證明；

令 則

故函數(shù)在上單調(diào)遞增；，