Question

13．已知集合A={x|x²-2x-3＜0}，B={x|2a-1＜x＜a+1}，a∈R．
（Ⅰ）若B⊆A，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)$f（x）=4sin（2x+\frac{π}{3}）+1$，若實數(shù)x₀滿足f（x₀）∈A，求實數(shù)x₀取值的集合．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若B⊆A，分類討論，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）由題意，$-1＜f（{x_0}）=4sin（2{x_0}+\frac{π}{3}）+1＜3$，即可求實數(shù)x₀取值的集合．

解答 解：（Ⅰ）A={x|-1＜x＜3}，
若B=∅，則2a-1≥a+1，解得a≥2，滿足B⊆A，
若B≠∅，則a＜2，要使B⊆A，只要$\left\{\begin{array}{l}a＜2\\ 2a-1≥-1\\ a+1≤3\end{array}\right.$解得0≤a＜2，
綜上，實數(shù)a的取值范圍是[0，+∞）；…（5分）
（Ⅱ）由題意，$-1＜f（{x_0}）=4sin（2{x_0}+\frac{π}{3}）+1＜3$，
即$-\frac{1}{2}＜sin（2{x_0}+\frac{π}{3}）＜\frac{1}{2}$，∴$2kπ-\frac{π}{6}＜2{x_0}+\frac{π}{3}＜2kπ+\frac{π}{6}$，或$2kπ+\frac{5π}{6}＜2{x_0}+\frac{π}{3}＜2kπ+\frac{7π}{6}$，k∈Z，
∴$kπ-\frac{π}{4}＜{x_0}＜kπ-\frac{π}{12}$，或$kπ+\frac{π}{4}＜{x_0}＜kπ+\frac{5π}{12}$，k∈Z．
則實數(shù)x₀取值的集合是$\left\{{{x_0}|}\right.kπ-\frac{π}{4}＜{x_0}＜kπ-\frac{π}{12}$，或$kπ+\frac{π}{4}＜{x_0}＜kπ+\frac{5π}{12}$，k∈Z}．…（10分）

點評 本題考查集合的關(guān)系，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．