Question

5．已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²-x-2在（-∞，+∞）上是單調函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，+∞）
• B． （-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）
• C． （-∞，-$\sqrt{3}$]∪[$\sqrt{3}$，+∞）
• D． [-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]

Answer 1

分析 先求函數(shù)的導數(shù)，因為函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是單調函數(shù)，所以在（-∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，再利用一元二次不等式的解得到a的取值范圍即可．

解答 解：f（x）=-x³+ax²-x-2的導數(shù)為f′（x）=-3x²+2ax-1，
∵函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是單調函數(shù)，∴在（-∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，
即-3x²+2ax-1≤0恒成立，∴△=4a²-12≤0，解得-$\sqrt{3}$≤a≤$\sqrt{3}$，
∴實數(shù)a的取值范圍是[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)的導數(shù)與單調區(qū)間的關系，以及恒成立問題的解法，屬于導數(shù)的應用．