Question

12．已知m∈R，命題p：對任意實數x，不等式x²-2x-1≥m²-3m恒成立，若￢p為真命題，則m的取值范圍是（-∞，1）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 由對任意x∈R，不等式x²-2x-1≥m²-3m恒成立，運用二次函數的最值求法，可得m²-3m≤-2，解不等式可得m的范圍，再由￢p為真命題時，則P為假命題，即可得到所求m的范圍．

解答 解：∵對任意x∈R，不等式x²-2x-1≥m²-3m恒成立，
∴${[{{{（{x-1}）}^2}-2}]_{min}}≥{m^2}-3m$，即m²-3m≤-2，
即有（m-1）（m-2）≤0，
解得1≤m≤2．
因此，若￢p為真命題時，則P為假命題，
可得m的取值范圍是（-∞，1）∪（2，+∞）．
故答案為：（-∞，1）∪（2，+∞）．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用二次函數的最值求法和二次不等式的解法，同時考查命題的真假判斷，考查轉化和運算能力，屬于中檔題．