Question

17．已知點P是曲線C：xy=1（x＞0）上的點，Q是點P關于直線l：y=2x的對稱點，R為直線l與曲線C的交點，則$\overrightarrow{OR}$•$\overrightarrow{OQ}$的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 根據(jù)題意，聯(lián)立直線l與曲線C：xy=1的方程解可得R的坐標，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），結(jié)合題意可得$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$×2=-1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=2×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，解可得x₂=$\frac{-3{x}_{1}+4{y}_{1}}{5}$，y₂=$\frac{4{x}_{1}+3{y}_{1}}{5}$，則數(shù)量積$\overrightarrow{OR}$•$\overrightarrow{OQ}$可以用x₁，y₁表示，即$\overrightarrow{OR}$•$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₂+$\sqrt{2}$y₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x₁+2y₁），由基本不等式的性質(zhì)計算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，聯(lián)立直線l與曲線C：xy=1的方程，有$\left\{\begin{array}{l}{xy=1}\\{y=2x}\end{array}\right.$，
解可得x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y=$\sqrt{2}$，則R（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$），
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
又由Q是點P關于直線l：y=2x的對稱點，則有$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$×2=-1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=2×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
解可得x₂=$\frac{-3{x}_{1}+4{y}_{1}}{5}$，y₂=$\frac{4{x}_{1}+3{y}_{1}}{5}$，
又由x₁•y₁=1，
所以$\overrightarrow{OR}$•$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₂+$\sqrt{2}$y₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{-3{x}_{1}+4{y}_{1}}{5}$+$\sqrt{2}$×$\frac{4{x}_{1}+3{y}_{1}}{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x₁+2y₁）≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2$\sqrt{2{x}_{1}{y}_{1}}$=2，
當且僅當x₁=2y₁=$\sqrt{2}$時等號成立，
即$\overrightarrow{OR}$•$\overrightarrow{OQ}$的最小值為2；
故選：D．

點評 本題考查向量數(shù)量積的運算，關鍵是表示出向量$\overrightarrow{OR}$與$\overrightarrow{OQ}$的坐標．