Question

13．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左，右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，離心率為e．P是橢圓上一點(diǎn)，滿足PF₂⊥F₁F₂，點(diǎn)Q在線段PF₁上，且$\overrightarrow{{F_1}Q}=2\overrightarrow{QP}$．若$\overrightarrow{{F_1}P}•\overrightarrow{{F_2}Q}$=0，則e²=（　�。�

• A． $\sqrt{2}-1$
• B． $2-\sqrt{2}$
• C． $2-\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{5}-2$

Answer 1

分析 由題意求得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，由$\overrightarrow{{F_1}P}•\overrightarrow{{F_2}Q}$=0，求得b⁴=2c²a²，則b²=a²-c²，根據(jù)離心率的取值范圍，即可求得橢圓的離心率．

解答 解：由題意可知：PF₂⊥F₁F₂，則P（c，$\frac{^{2}}{a}$），
由$\overrightarrow{{F_1}Q}=2\overrightarrow{QP}$，（x_Q+c，y_Q）=2（c-x_Q，$\frac{^{2}}{a}$-y_Q），則Q（$\frac{c}{3}$，$\frac{2^{2}}{3a}$），
$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=（2c，$\frac{^{2}}{a}$），$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$=（-$\frac{2c}{3}$，$\frac{2^{2}}{3a}$），
由$\overrightarrow{{F_1}P}•\overrightarrow{{F_2}Q}$=0，則2c×（-$\frac{2c}{3}$）+$\frac{^{2}}{a}$×$\frac{2^{2}}{3a}$=0，整理得：b⁴=2c²a²，
則（a²-c²）²=2c²a²，整理得：a⁴-4c²a²+c⁴=0，則e⁴-4e²+1=0，解得：e²=2±$\sqrt{3}$，
由0＜e＜1，則e²=2-$\sqrt{3}$，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的求法，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．